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Messaggio inserito da Mauro84

Quando dico nulla si può dire mi riferisco all'applicazione delle proprietà viste su wiki. Inoltre nell'esercizio non ci sono info su
A e B. Una cosa che ho dedotto e che U,V sono quadrate ed in quanto invertibili il rank è massimo e pari ad n. :) per il resto non sappiamo ne la definizione di conformi. Poichè U,V sono quadrate anche A e B sono quadrate.

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Messaggio inserito da vampire

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Messaggio inserito da Mauro84

Quando dico nulla si può dire mi riferisco all'applicazione delle proprietà viste su wiki. Inoltre nell'esercizio non ci sono info su
A e B. Una cosa che ho dedotto e che U,V sono quadrate ed in quanto invertibili il rank è massimo e pari ad n. :) per il resto non sappiamo ne la definizione di conformi. Poichè U,V sono quadrate anche A e B sono quadrate.

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si questo l'ho dedotto ank'io...però arrivato qua mi sono fermato :(

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Messaggio inserito da Mauro84

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Messaggio inserito da vampire

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Messaggio inserito da Mauro84

Quando dico nulla si può dire mi riferisco all'applicazione delle proprietà viste su wiki. Inoltre nell'esercizio non ci sono info su
A e B. Una cosa che ho dedotto e che U,V sono quadrate ed in quanto invertibili il rank è massimo e pari ad n. :) per il resto non sappiamo ne la definizione di conformi. Poichè U,V sono quadrate anche A e B sono quadrate.

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si questo l'ho dedotto ank'io...però arrivato qua mi sono fermato :(

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comunque conformi non vuol dire che hanno la stessa dimensione U,V ma semplicemente che è lecita l'operazione prodotto tra U e V ossia il numero delle colonne della prima matrice è uguale al numero delle righe della seconda matrice. ;)

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Messaggio inserito da vampire

"Io direi che è ancora più semplice. Come dici tu, ciò che serve è dimostrare che, data U matrice n×n invertibile, e A matrice n×m, il rango di UA è uguale al rango di A, i.e. moltiplicando a sinistra per una matrice invertibile il rango non cambia. Chiaramente con un ragionamento analogo proveremo che anche moltiplicando a destra per una matrice invertibile il rango non cambia.

E questo io lo vedrei così:
indichiamo con A(1),...,A(m) le colonne di A. Allora le colonne di UA sono UA(1),...,UA(m), come si verifica immediatamente partizionando A per colonne. E adesso è facile, perché un insieme di colonne di UA, diciamo UA(i1),...,UA(ik), è linearmente indipendente se e solo se A(i1),...,A(ik) sono linearmente indipendenti (segue dall'invertibilità di U)."

questa risposta mi è stata data su un forum di matematica.

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Messaggio inserito da Mauro84

La SD equivalenza non è applicabile a tal problema per il semplice fatto che U,V sono conformi; il misfatto è proprio lì. Un esercizio infinito;) Su wiki la sd equivalenza A=MBN prende M,N di dimensione differente. Allora la sd equivalenza è applicabile qualora M,N abbiano le stesse dimensioni e non solo: devono essere quadrate; altrimenti ripeto nulla si può dire ;)

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Messaggio inserito da pepsianomala

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Messaggio inserito da Mauro84

La SD equivalenza non è applicabile a tal problema per il semplice fatto che U,V sono conformi; il misfatto è proprio lì. Un esercizio infinito;) Su wiki la sd equivalenza A=MBN prende M,N di dimensione differente. Allora la sd equivalenza è applicabile qualora M,N abbiano le stesse dimensioni e non solo: devono essere quadrate; altrimenti ripeto nulla si può dire ;)

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invece si puo' applicare perkè possiamo considerare

U (mxm) è invertibile => U non singolare det(U)<> (diverso)0 => rank(U) = m
A (mxn)
V (nxn) è invertibile => V non singolare det(V)<> (diverso)0 => rank(V) = n

il fatto che U e V siano conformi nn vuol dire che hanno le stesse dimensioni, ma come ha già detto qualcuno hanno dimensioni conformi per il prodotto, tradotto in parole povere ha senso il prodotto UAV.

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Messaggio inserito da pepsianomala

un'altra cosa io ho un dubbio su
3) A simmetrica positiva. x vettore =! (diverso da) 0 . Provare A+xTx è definia positiva. xTAx>0 per ogni x>0 appartenente a R^n.

A è una matrice mentre xTx è uno scalare, che a me risulti non si puo' sommare uno scalare ad una matrice. Non è che li invece di xTx è xxT?????

O forse mi sono rimbambita io??

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Messaggio inserito da Mauro84

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Messaggio inserito da pepsianomala

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Messaggio inserito da Mauro84

La SD equivalenza non è applicabile a tal problema per il semplice fatto che U,V sono conformi; il misfatto è proprio lì. Un esercizio infinito;) Su wiki la sd equivalenza A=MBN prende M,N di dimensione differente. Allora la sd equivalenza è applicabile qualora M,N abbiano le stesse dimensioni e non solo: devono essere quadrate; altrimenti ripeto nulla si può dire ;)

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invece si puo' applicare perkè possiamo considerare

U (mxm) è invertibile => U non singolare det(U)<> (diverso)0 => rank(U) = m
A (mxn)
V (nxn) è invertibile => V non singolare det(V)<> (diverso)0 => rank(V) = n

il fatto che U e V siano conformi nn vuol dire che hanno le stesse dimensioni, ma come ha già detto qualcuno hanno dimensioni conformi per il prodotto, tradotto in parole povere ha senso il prodotto UAV.

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La definizione di conformi lo data io. Se dico U,V conformi vuol dire che posso fare il prodotto tra U e V ;)

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Messaggio inserito da Mauro84

Ora andiamo daccordo. Ossia devi supporre che siano quadrate:) Eravamo arrivati già da ieri a questo :) Il problema si verificava
se U,V sono conformi ma non quadrate; che vuol dire U(mxn) V(nxs) [U,V conformi per def.].
Quando faccio i prodotti ossia UAV, A diventa di dimensioni A(nxn)
e B(mxs). In questo caso nulla si può dire. Infatti come posso dire che i rank coincidono [rank(A)=rank(B)].

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Messaggio inserito da pepsianomala

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Messaggio inserito da Mauro84

Ora andiamo daccordo. Ossia devi supporre che siano quadrate:) Eravamo arrivati già da ieri a questo :) Il problema si verificava
se U,V sono conformi ma non quadrate; che vuol dire U(mxn) V(nxs) [U,V conformi per def.].
Quando faccio i prodotti ossia UAV, A diventa di dimensioni A(nxn)
e B(mxs). In questo caso nulla si può dire. Infatti come posso dire che i rank coincidono [rank(A)=rank(B)].

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U e V devono essere per forza quadrate in quanto invertibili...non è che lo suppongo io!

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Messaggio inserito da pepsianomala

Per quanto riguarda il famoso esercizio, sul Meyer ho trovato la seguente proprietà del rango di un prodotto:

Se A è mxn e B è nxp allora
rank(AB)=rank(A)- (dim N(A) intersezione R(B)).

nel nostro caso vogliamo dimostrare che

rank (B) = rank (UAV) = rank (A)

allora partiamo da rank(B) = rank (UAV) = [per la proprietà di prima]

= rank(V)- dim [N(UA) intersezione R(V)]= [a questo punto sappiamo ke rank(V) = n perkè è invertibile, quindi non singolare, quindi rango massimo.... inoltre poichè rank(V)=n => N(UA) intersezione R(V) = N(UA)]

= n - dim [N(UA)] = [poichè la dimensione del nucleo di una matrice è uguale al numero di colonne meno il suo rango quindi dim[N(UA)] = n - rank (UA) per il teorema del rango che dice:
se M è una matrice mxn allora rank(M) + dim[N(M)] = n]

= n - n + rank (UA) = rank (UA) = [riapplicando le stesse propietà precedenti]

= rank(A) - dim [N(U) intersezione R(A)] = [in questo caso poichè rank(U) è massimo significa che tutte le sue colonne sono linearmente indipendenti => N(U) = {0} => N(U) intersezione R(A) = {0} => dim [N(U) intersezione R(A)]= 0]

= rank (A).

Tutte queste proprietà le ritrovate sul Meyer nel capitolo 4.5!

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Messaggio inserito da WonderBoy

Un'altro esercizio:

Verificare se R(A|B) = R(A)+R(B) con il simbolo "|" di concatenazione

Io credo che è verificato solo e soltanto se il R(A) sia diverso da R(B).
Qualcuno conferma?

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