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 Discussione  |
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Rio
Utente medio
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 Inserito il - 01/02/2009 : 17:18:47
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Traccia 3 - Secondo esonero - 7 Febbraio 2008, qualcuno ha risposto a questo domande?
Allego il file.
Grazie
Allegato:  esonero2a_08.pdf
57,34 KB
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ekkekkazz
Utente innocuo
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Inserito il - 02/02/2009 : 09:49:09
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eh il 3.a e 3.b li fece già il prof, il 3.e mi è riuscito a metà, gli altri non capisco come si fanno... eppure devono essere dim di pochi passaggi bah...
provo di nuovo stamattina poi scrivo quello che sono riuscito a fare oggi pom.
ps: qualcuno ha capito bene la dim di convergenza globale con newton? |
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Rio
Utente medio
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Inserito il - 03/02/2009 : 11:41:16
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potresti dirmi dove è risolto il 3.b?
Grazie |
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Fetu
Utente medio
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Inserito il - 03/02/2009 : 12:43:51
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Scusate alla traccia 2 dello stesso esonero al punto 2.c (dimensione del sottospazio ortogonale di V) io ottengo prima che dim(V)=3 poi noto che il numero di incognite è 3.Dalla formula ho che dim(V ort)=n - dim(V)=3-3=0 possibile??sui miei appunti ho invece scritto che dim(V ort)=1 ....dove sbaglio??
n'altra cosa che riguarda gli zeri di funzione dire calcolare la velocita del metodo e dire calcolare l'ordine del metodo è la stessa cosa??chiedo scusa per la domanda stupida ,ma ho sto dubbio.... |
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Rio
Utente medio
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Inserito il - 03/02/2009 : 15:15:54
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Citazione:
Messaggio inserito da Fetu
Scusate alla traccia 2 dello stesso esonero al punto 2.c (dimensione del sottospazio ortogonale di V) io ottengo prima che dim(V)=3 poi noto che il numero di incognite è 3.Dalla formula ho che dim(V ort)=n - dim(V)=3-3=0 possibile??sui miei appunti ho invece scritto che dim(V ort)=1 ....dove sbaglio??
le incognite sono 4, perchè 3??
così i conti tornano
Citazione:
n'altra cosa che riguarda gli zeri di funzione dire calcolare la velocita del metodo e dire calcolare l'ordine del metodo è la stessa cosa??chiedo scusa per la domanda stupida ,ma ho sto dubbio....
Si |
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Fetu
Utente medio
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Inserito il - 03/02/2009 : 16:27:54
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| Scusa dai 3 vettori non si ricava un sistema a 4 equazioni in 3 incognite? |
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ekkekkazz
Utente innocuo
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Inserito il - 03/02/2009 : 17:28:10
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Citazione:
Messaggio inserito da Fetu
Scusa dai 3 vettori non si ricava un sistema a 4 equazioni in 3 incognite?
no fetu quando fai A'x=0 le incognite sono m perchè fai la trasposta.
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ekkekkazz
Utente innocuo
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Inserito il - 03/02/2009 : 18:26:49
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vi scrivo i punti della traccia 3. ovviamente sono da rivedere, ditemi che vi sembrano (non ho trovato un esercizio fatto di questo tipo!)
A matrice di m righe ed n colonne
3.a
Si dia la definizione di nucleo (ker(A)) ed immagine (Im(A)) della matrice A.
e vabbè, stanno sulle dispense.
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3.b (ho trovato qualcosa negli appunti della lezione 12/1)
Si provi che, in effetti, ker(A) ed Im(A) risultano sottospazi vettoriali di Rn ed Rm rispettivamente.
verifichiamo la stabilità di +
se x,y in Ker(A) allora x+y in Ker(A)
sappiamo che Ax = Ay = 0
A(x+y) = Ax+Ay = 0+0 = 0
perciò x+y è in Ker(A)
verifichiamo la stabilità di *
se x in Ker(A) e h in R allora h*x in Ker(A)
sappiamo che Ax = 0
Ah*x = h*Ax = h*0 = 0
perciò h*x è in Ker(A)
lo stesso ragionamento per Im(A)
---
3.c (# è l'ortogonalità)
Si provi che #(Im(A)) = ker(A').
partiamo da una x in #(Im(A)), questa x è tale che x'y=0 per ogni y in Im(A). La y=Ax.
se x=0, x'y=0 banale.
se x!=0, allora deve essere
x'(Ax)=0
(Ax)'x=0
x'A'x=0
perciò x'(A'x)=0
sapendo che x!=0, per avere l'uguaglianza allora A'x=0 necessariamente, perciò appartiene a Ker(A')
---
3.d
Si provi che Rm = Im(A) (+) ker(A').
facciamo vedere che una somma di un generico y in Im(A) e di un generico x in Ker(A') da un vettore r di lunghezza m.
y+x = r
Ax+x = r
A'Ax+A'x = A'r
dato che A'x=0, allora A'Ax = A'r che ha lunghezza proprio m
(questa mi sa tanto di cazzata, cmq)
---
3.e
Si supponga m = n. Si provi che det(A)!=0 se e solo se il sistema omogeneo Ax = 0 ammette come unica soluzione quella nulla: x = 0.
usiamo due implicazioni,
1) det(A)!=0 => Ax=0 solo con x=0
e
2) Ax=0 solo con x=0 => det(A)!=0
così verifichiamo l'equivalenza.
dim 1)
det(A)!=0 vuol dire che rank(A)=n, perchè A è il minore con l'ordine più alto (cioè n) tale che il suo determinante sia != 0.
quindi i vettori in A=[v1,v2,...,vn] sono linearmente indipendenti, perciò una loro combinazione Ax è uguale a zero solo con il vettore x=0.
dim 2)
se Ax=0 solo con x=0 allora
rank(A)=rank([A|0])
è ovvio perchè aggiungiamo una colonna di zeri alla matrice completa.
il rango è n ed equivale a dire che det(A)!=0
---
3.f
Si supponga m>=n. Si provi che, se rank(A) è massimo, allora det(A'A)!=0.
se rank(A) è massimo allora rank(A)=n.
allora i vettori A=[v1,v2,...,vn] sono linearmente indipendenti, e perciò det(A)!=0.
e poi Ax=0 solo con x=0
A' è ortogonale ad x=0, perchè (A')'x=0 equivalente a Ax=0.
significa che x=0 appartiene a Ker(A)=Ker((A')')={0}.
per la 3.c Ker(A)=Ker((A')')={0}=#(Im(A'))
dato che l'unico elemento qui dentro è quello nullo, allora vuol dire che
per qualsiasi altra x!=0 risulta A'x!=0, in pratica questi vettori A'=[v1',v2',...,vn'] sono linearmente indipendenti, il rank(A')=m e det(A')!=0
det(A'A)=det(A')det(A).
det(A)!=0 lo sapevamo, ora sappiamo che det(A')!=0, quindi det(A'A)!=0.
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devo chiedervi delle cose sulla convergenza globale.
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ekkekkazz
Utente innocuo
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Inserito il - 03/02/2009 : 18:42:26
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per dimostrare la convergenza di un metodo di newton per una funzione f(x)=x^2-7 in pratica bisogna dire che:
x0 deve essere preso tc f(x0)f''(x0)>0, così abbiamo la convessità.
la f'(x)!=0 così è monotona.
poi presa la radice=sqrt(7) per es.
bisogna dimostrare che
per ogni k allora f(xk)>0, così xk>sqrt(7) per ogni k
(quindi la successione sta tutta a destra)
xk+1 < xk per ogni k
e diciamo che converge globalmente nell'intervallo [sqrt(7),inf)
giusto? basta? |
Modificato da - ekkekkazz in data 03/02/2009 18:52:01 |
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