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INFORMATICA - Primo Anno

Analisi Matematica

Problemi "limitanti"

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rel
Utente assiduo

Inserito il - 03/09/2005 : 19:43:22

Ho difficoltà con questo esercizio:
lim (per x->+inf) di log( e^x + x ) - x

Se fosse per x->0 io aggiungerei 1 e -1 all'argomento del log e applicando la teoria degli infinitesimi equivalenti uscirebbe alla fine e^x = 1
Ma nel caso x->+inf come fare?
Grazie

ps. lim (per x->+inf) di e^x a quanto è uguale? Dovrebbe essere +inf però perchè spesso negli esercizi trovo che vale 0?

Gentoo
Nuovo Utente

Inserito il - 04/09/2005 : 00:07:37

Citazione:
Messaggio inserito da reload85

Ho difficoltà con questo esercizio:
lim (per x->+inf) di log( e^x + x ) - x

Se fosse per x->0 io aggiungerei 1 e -1 all'argomento del log e applicando la teoria degli infinitesimi equivalenti uscirebbe alla fine e^x = 1
Ma nel caso x->+inf come fare?
Grazie

ps. lim (per x->+inf) di e^x a quanto è uguale? Dovrebbe essere +inf però perchè spesso negli esercizi trovo che vale 0?

la funzione tende a zero

Loredana
Utente medio

Regione: Puglia
Prov.: Bari

Inserito il - 04/09/2005 : 11:58:03

Citazione:
Messaggio inserito da reload85
ps. lim (per x->+inf) di e^x a quanto è uguale? Dovrebbe essere +inf però perchè spesso negli esercizi trovo che vale 0?

lim (per x->+inf) di e^x è +inf.
Invece lim (per x->+inf) di e^(-x)è 0 perchè diventa 1/e^x, cioè 1/+inf che è 0.

Dirak
Utente medio

Regione: Puglia
Prov.: Bari
Città: Bari

Inserito il - 04/09/2005 : 13:13:20

Per la risoluzione dovrebbe essere
x=log(e^x) perchè il logaritmo è la funzione inversa dell'esponenziale.
Andando a sostituire diventa
lim (per x->+inf) di log( e^x + x ) - log(e^x)
Sfrutto una proprietà dei logaritmi che dice che la differenza tra due logaritmi con la stessa base è uguale al logaritmo della divisione degli argomenti.
lim (per x->+inf) di log(( e^x + x )/e^x))
Divido
lim (per x->+inf) di log(1 + x /e^x))
il lim (per x->+inf) x/e^x è 0 perchè e^x va ad infinito molto più velocemente di x.L'argomento del logaritmo si riduce ad 1: quindi il risultato è 0

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rel
Utente assiduo

Inserito il - 04/09/2005 : 17:32:28

Grazie delle risp, ora controllo.
Altro dubbio:
per x->0 a cosa può equivalere 1 - cos 2x ? a 1/2 * 2x^2 che semplificando diventa solo x^2? Oppure a cos'altro?
Bisogna per caso trasformare cos2x con le formule di duplicazione di sen e cos?
Grazie
ps. Scusate se abuso della vostra pazienza..

Dirak
Utente medio

Regione: Puglia
Prov.: Bari
Città: Bari

Inserito il - 04/09/2005 : 17:43:56

Citazione:
Messaggio inserito da reload85

per x->0 a cosa può equivalere 1 - cos 2x ?

Se dividi e moltiplichi per 2x otterrai
lim per x->0 di 2x*(1 - cos 2x)/2x
la seconda parte è un limite notevole lim per x->0 (1 - cos 2x)/2x=0
e quindi tende a 0.
Però otteresti lo stesso risultato sia con gli infinitesimi e sia con le formule di duplicazione.

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rel
Utente assiduo

Inserito il - 05/09/2005 : 12:02:00

Però otteresti lo stesso risultato sia con gli infinitesimi e sia con le formule di duplicazione.
Quindi dici che è giusta la mia interpretazione?

Cioè questa:

Citazione:

per x->0 a cosa può equivalere 1 - cos 2x ? a 1/2 * 2x^2 che semplificando diventa solo x^2?

Grazie ancora!

Dirak
Utente medio

Regione: Puglia
Prov.: Bari
Città: Bari

Inserito il - 05/09/2005 : 19:47:19

Intendevo come lo avevo fatto io.

Citazione:

per x->0 a cosa può equivalere 1 - cos 2x ? a 1/2 * 2x^2 che semplificando diventa solo x^2?

Se sei arrivato a questa conclusione per infinitesimi stai attento che l'argomento non è x ma bensì 2x.Cioè
1 - cos x---->(1/2)*x^2
1 - cos 2x ----> (1/2)*(2x)^2=1/2*(4x^2)=2x^2

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Modificato da - Dirak in data

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