| V I S U A L I Z Z A D I S C U S S I O N E |
| nala |
Inserito il - 24/03/2009 : 17:16:51
1)se B=UAV con U e V invertibili e conformi: rango B= rango A?
2)A e B simmetriche e positive: A+B è positiva?
3)A simmetrica positiva. x vettore =! (diverso da) 0 . Provare A+xTx è definia positiva. xTAx>0 per ogni x>0 appartenente a R^n.
4)A3x4=( 0 0 x=(0 -1/rad(2) -1/rad(2))
1/2 1
1/2 1)
x vettore con base ortonormale per il rango di A (calcolare base Grad-Shmit)
D = (a1, a2 ... an) provare che norma di frobenius ||A||^2,F= SOMMATORIA per i che va da 1 a n di ||ai||^2,2
qualcuno saprebbe risolvere almeno uno di questi problemini??? |
| 20 U L T I M E R I S P O S T E (in alto le più recenti) |
| vampire |
Inserito il - 29/03/2009 : 19:32:00
uno scalare può essere sommato ad una matrice.l'ho trovato scritto su internet. Lo scalare viene sommato ad ogni elemento della matrice..come avviene quando si moltiplica uno scalare per una matrice.si può fare anche la sottrazione. |
| Mauro84 |
Inserito il - 29/03/2009 : 12:06:53
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Messaggio inserito da pepsianomala
un'altra cosa io ho un dubbio su
3) A simmetrica positiva. x vettore =! (diverso da) 0 . Provare A+xTx è definia positiva. xTAx>0 per ogni x>0 appartenente a R^n.
A è una matrice mentre xTx è uno scalare, che a me risulti non si puo' sommare uno scalare ad una matrice. Non è che li invece di xTx è xxT?????
O forse mi sono rimbambita io?? 
[con ^ indico la trasposta]
Riguardo a questo penso che nel caso sia x^x vuol dire che possiamo applicare lo stesso ragionamento della definizione di autovettore ed autovalore in cui Ax=lx ove Ax-lx=0 <=> (A-lI)x=0 in questo caso l (lambda) non è una matrice ma la moltiplico per I che è l'identica.
Nel caso opposto abbiamo sempre parlato di che xx^ è una matrice. Ma un dubbio nelle ultime ore prima dell'esonero. COME SI FA xx^?
Sarà semplice ma la prof non lo ha mai definito :(
P.S credo che sia dati due vettori in R3 x=(x1 x2 x3)^,
xx^ = [x1x1 x1x2 x1x3
x2x1 x2x2 x2x3
x3x1 x3x2 x3x3] |
| pepsianomala |
Inserito il - 28/03/2009 : 17:54:29
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Messaggio inserito da vampire
Citazione:
Messaggio inserito da pepsianomala
allora io ho provato a risolverlo applicando la definizione di range di una matrice.
Ricordiamo la definzione: sia C (mxn) si definisce range di C il sottospazio R(C) generato dal range di Cx = y (dove y = f(x)). Cioè
R(C)={Cx | x € R^n}
quindi siano A e B (mxn) => (A|B) (mx2n) e sia
R(A|B)={(A|B)x | x € R^2n} x= x1 ->prime n componenti
------------------------------x2 ->ultime n componenti
calcoliamo
(A|B)x = (A|B) (x1) = [facendo il prodotto classico tra matrice e vettore, ma tenendo presente che sia la
----------------x2-----matrice sia il vettore sono a blocchi]
= Ax1 + Bx2 = [riapplicando la definizione di R(A) e R(B)]
= R(A)+ R(B)
nn riesco a capire xkè il vettore dici che sia fatto a blocchi..per la matrice ho capito..ma x il vettore no..magari un disegno mi aiuterebbe a capire 
quando devi moltiplicare (A|B) per (x) vai ad effettuare il prodotto delle prime n compnenti di x per A + le ultime n componenti per B. quindi è bene riscrivere il vettore x formato da x1 che ha e prime n componenti e x2 che ha le restanti n componenti.
Non so se sono stata chiara.
se devi fare il prodotto tra due vettori
ad esempio x=1 e y=4
-------------1-----5
x^Ty = (1 1)(4) = 1*4+1*5=9
-------------5
ora al di là dei calcoli rivedi le componenti dei vettori x ed y in termini di blocchi
quindi x^T nel nostro caso è (A|B) dove le componenti sono appunti i blocchi di matrici
y è x e le due componenti di y le rappresentiamo con x1 e x2.
Spero adesso sia + chiaro! |
| vampire |
Inserito il - 28/03/2009 : 16:38:43
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Messaggio inserito da pepsianomala
allora io ho provato a risolverlo applicando la definizione di range di una matrice.
Ricordiamo la definzione: sia C (mxn) si definisce range di C il sottospazio R(C) generato dal range di Cx = y (dove y = f(x)). Cioè
R(C)={Cx | x € R^n}
quindi siano A e B (mxn) => (A|B) (mx2n) e sia
R(A|B)={(A|B)x | x € R^2n} x= x1 ->prime n componenti
------------------------------x2 ->ultime n componenti
calcoliamo
(A|B)x = (A|B) (x1) = [facendo il prodotto classico tra matrice e vettore, ma tenendo presente che sia la
----------------x2-----matrice sia il vettore sono a blocchi]
= Ax1 + Bx2 = [riapplicando la definizione di R(A) e R(B)]
= R(A)+ R(B)
nn riesco a capire xkè il vettore dici che sia fatto a blocchi..per la matrice ho capito..ma x il vettore no..magari un disegno mi aiuterebbe a capire |
| WonderBoy |
Inserito il - 28/03/2009 : 11:31:29
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Messaggio inserito da pepsianomala
allora io ho provato a risolverlo applicando la definizione di range di una matrice.
Ricordiamo la definzione: sia C (mxn) si definisce range di C il sottospazio R(C) generato dal range di Cx = y (dove y = f(x)). Cioè
R(C)={Cx | x € R^n}
quindi siano A e B (mxn) => (A|B) (mx2n) e sia
R(A|B)={(A|B)x | x € R^2n} x= x1 ->prime n componenti
------------------------------x2 ->ultime n componenti
calcoliamo
(A|B)x = (A|B) (x1) = [facendo il prodotto classico tra matrice e vettore, ma tenendo presente che sia la
----------------x2-----matrice sia il vettore sono a blocchi]
= Ax1 + Bx2 = [riapplicando la definizione di R(A) e R(B)]
= R(A)+ R(B)
sì credo sia così |
| pepsianomala |
Inserito il - 28/03/2009 : 10:52:32
allora io ho provato a risolverlo applicando la definizione di range di una matrice.
Ricordiamo la definzione: sia C (mxn) si definisce range di C il sottospazio R(C) generato dal range di Cx = y (dove y = f(x)). Cioè
R(C)={Cx | x € R^n}
quindi siano A e B (mxn) => (A|B) (mx2n) e sia
R(A|B)={(A|B)x | x € R^2n} x= x1 ->prime n componenti
------------------------------x2 ->ultime n componenti
calcoliamo
(A|B)x = (A|B) (x1) = [facendo il prodotto classico tra matrice e vettore, ma tenendo presente che sia la
----------------x2-----matrice sia il vettore sono a blocchi]
= Ax1 + Bx2 = [riapplicando la definizione di R(A) e R(B)]
= R(A)+ R(B) |
| pepsianomala |
Inserito il - 28/03/2009 : 10:20:50
non l'ho risolto ancora
è come se fosse una matrice a blocchi C = (A | B) dove i blocchi sono proprio le matrici A e B, nn so se è chiaro!
cmq facendolo con un esempio:
se A = 1 2 e B = 7 4
-------4 5-------8 2
A|B= 1 2 7 4
-----4 5 8 2
NB: i trattini mi servivano per incolonnare meglio gli elementi della matrice |
| vampire |
Inserito il - 28/03/2009 : 10:01:51
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Messaggio inserito da pepsianomala
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Messaggio inserito da vampire
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Messaggio inserito da WonderBoy
Un'altro esercizio:
Verificare se R(A|B) = R(A)+R(B) con il simbolo "|" di concatenazione
Io credo che è verificato solo e soltanto se il R(A) sia diverso da R(B).
Qualcuno conferma?
ma è simbolo di concatenazione o intersezione?perchè cmq il Range è un insieme..quindi credo sia di intersezione.
eh si ma devi calcolare il range della matrice ottenuta concatenando A e B
la concatenazione tra due matrici come si fa :O??tu per caso l'hai risolto? |
| pepsianomala |
Inserito il - 28/03/2009 : 09:51:55
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Un'altro esercizio:
Verificare se R(A|B) = R(A)+R(B) con il simbolo "|" di concatenazione
Io credo che è verificato solo e soltanto se il R(A) sia diverso da R(B).
Qualcuno conferma?
ma è simbolo di concatenazione o intersezione?perchè cmq il Range è un insieme..quindi credo sia di intersezione.
eh si ma devi calcolare il range della matrice ottenuta concatenando A e B |
| vampire |
Inserito il - 28/03/2009 : 09:46:33
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Messaggio inserito da WonderBoy
Un'altro esercizio:
Verificare se R(A|B) = R(A)+R(B) con il simbolo "|" di concatenazione
Io credo che è verificato solo e soltanto se il R(A) sia diverso da R(B).
Qualcuno conferma?
ma è simbolo di concatenazione o intersezione?perchè cmq il Range è un insieme..quindi credo sia di intersezione. |
| pepsianomala |
Inserito il - 27/03/2009 : 17:09:30
Ragazzi ma qualcuno ha capito il 4 esercizio? io nn capisco proprio la traccia
qualcuno mi sa spiegare che significa "x vettore con base ortonormale per il rango di A (calcolare base Grad-Shmit)"
forse sono io che non capisco boooh!!! |
| Mauro84 |
Inserito il - 27/03/2009 : 15:54:30
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Messaggio inserito da pepsianomala
Per quanto riguarda il famoso esercizio, sul Meyer ho trovato la seguente proprietà del rango di un prodotto:
Se A è mxn e B è nxp allora
rank(AB)=rank(A)- (dim N(A) intersezione R(B)).
nel nostro caso vogliamo dimostrare che
rank (B) = rank (UAV) = rank (A)
allora partiamo da rank(B) = rank (UAV) = [per la proprietà di prima]
= rank(V)- dim [N(UA) intersezione R(V)]= [a questo punto sappiamo ke rank(V) = n perkè è invertibile, quindi non singolare, quindi rango massimo.... inoltre poichè rank(V)=n => N(UA) intersezione R(V) = N(UA)]
= n - dim [N(UA)] = [poichè la dimensione del nucleo di una matrice è uguale al numero di colonne meno il suo rango quindi dim[N(UA)] = n - rank (UA) per il teorema del rango che dice:
se M è una matrice mxn allora rank(M) + dim[N(M)] = n]
= n - n + rank (UA) = rank (UA) = [riapplicando le stesse propietà precedenti]
= rank(A) - dim [N(U) intersezione R(A)] = [in questo caso poichè rank(U) è massimo significa che tutte le sue colonne sono linearmente indipendenti => N(U) = {0} => N(U) intersezione R(A) = {0} => dim [N(U) intersezione R(A)]= 0]
= rank (A).
Tutte queste proprietà le ritrovate sul Meyer nel capitolo 4.5!
Mi piace questa dimostrazione :) |
| pepsianomala |
Inserito il - 27/03/2009 : 14:39:20
Per quanto riguarda il famoso esercizio, sul Meyer ho trovato la seguente proprietà del rango di un prodotto:
Se A è mxn e B è nxp allora
rank(AB)=rank(A)- (dim N(A) intersezione R(B)).
nel nostro caso vogliamo dimostrare che
rank (B) = rank (UAV) = rank (A)
allora partiamo da rank(B) = rank (UAV) = [per la proprietà di prima]
= rank(V)- dim [N(UA) intersezione R(V)]= [a questo punto sappiamo ke rank(V) = n perkè è invertibile, quindi non singolare, quindi rango massimo.... inoltre poichè rank(V)=n => N(UA) intersezione R(V) = N(UA)]
= n - dim [N(UA)] = [poichè la dimensione del nucleo di una matrice è uguale al numero di colonne meno il suo rango quindi dim[N(UA)] = n - rank (UA) per il teorema del rango che dice:
se M è una matrice mxn allora rank(M) + dim[N(M)] = n]
= n - n + rank (UA) = rank (UA) = [riapplicando le stesse propietà precedenti]
= rank(A) - dim [N(U) intersezione R(A)] = [in questo caso poichè rank(U) è massimo significa che tutte le sue colonne sono linearmente indipendenti => N(U) = {0} => N(U) intersezione R(A) = {0} => dim [N(U) intersezione R(A)]= 0]
= rank (A).
Tutte queste proprietà le ritrovate sul Meyer nel capitolo 4.5! |
| vampire |
Inserito il - 27/03/2009 : 13:27:29
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Messaggio inserito da pepsianomala
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Messaggio inserito da Mauro84
Ora andiamo daccordo. Ossia devi supporre che siano quadrate:) Eravamo arrivati già da ieri a questo :) Il problema si verificava
se U,V sono conformi ma non quadrate; che vuol dire U(mxn) V(nxs) [U,V conformi per def.].
Quando faccio i prodotti ossia UAV, A diventa di dimensioni A(nxn)
e B(mxs). In questo caso nulla si può dire. Infatti come posso dire che i rank coincidono [rank(A)=rank(B)].
U e V devono essere per forza quadrate in quanto invertibili...non è che lo suppongo io!
ha ragione :D si parla di matrici invertibili solo per matrici quadrate.. |
| pepsianomala |
Inserito il - 27/03/2009 : 13:03:55
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Messaggio inserito da Mauro84
Ora andiamo daccordo. Ossia devi supporre che siano quadrate:) Eravamo arrivati già da ieri a questo :) Il problema si verificava
se U,V sono conformi ma non quadrate; che vuol dire U(mxn) V(nxs) [U,V conformi per def.].
Quando faccio i prodotti ossia UAV, A diventa di dimensioni A(nxn)
e B(mxs). In questo caso nulla si può dire. Infatti come posso dire che i rank coincidono [rank(A)=rank(B)].
U e V devono essere per forza quadrate in quanto invertibili...non è che lo suppongo io! |
| WonderBoy |
Inserito il - 27/03/2009 : 11:37:16
Un'altro esercizio:
Verificare se R(A|B) = R(A)+R(B) con il simbolo "|" di concatenazione
Io credo che è verificato solo e soltanto se il R(A) sia diverso da R(B).
Qualcuno conferma? |
| Mauro84 |
Inserito il - 27/03/2009 : 11:18:03
Ora andiamo daccordo. Ossia devi supporre che siano quadrate:) Eravamo arrivati già da ieri a questo :) Il problema si verificava
se U,V sono conformi ma non quadrate; che vuol dire U(mxn) V(nxs) [U,V conformi per def.].
Quando faccio i prodotti ossia UAV, A diventa di dimensioni A(nxn)
e B(mxs). In questo caso nulla si può dire. Infatti come posso dire che i rank coincidono [rank(A)=rank(B)]. |
| pepsianomala |
Inserito il - 27/03/2009 : 11:04:14
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Messaggio inserito da Mauro84
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Messaggio inserito da pepsianomala
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Messaggio inserito da Mauro84
La SD equivalenza non è applicabile a tal problema per il semplice fatto che U,V sono conformi; il misfatto è proprio lì. Un esercizio infinito;) Su wiki la sd equivalenza A=MBN prende M,N di dimensione differente. Allora la sd equivalenza è applicabile qualora M,N abbiano le stesse dimensioni e non solo: devono essere quadrate; altrimenti ripeto nulla si può dire ;)
invece si puo' applicare perkè possiamo considerare
U (mxm) è invertibile => U non singolare det(U)<> (diverso)0 => rank(U) = m
A (mxn)
V (nxn) è invertibile => V non singolare det(V)<> (diverso)0 => rank(V) = n
il fatto che U e V siano conformi nn vuol dire che hanno le stesse dimensioni, ma come ha già detto qualcuno hanno dimensioni conformi per il prodotto, tradotto in parole povere ha senso il prodotto UAV.
La definizione di conformi lo data io. Se dico U,V conformi vuol dire che posso fare il prodotto tra U e V ;)
boh invece secondo me intendeva conformi per il prodotto UAV! a questo punto non so
cmq anke se fosse come dici tu avremmo
U (nxn) deve essere quadrata perkè invertibile con rank(U) = n
A (nxn)
V (nxn) con rank(V)= n
La SD equivalenza si ottiene lo stesso!
Il fatto ke la proprietà ti dica ke hanno dimensioni diverse nn significa che non si puo' applicare su matrici che hanno dimensioni uguali!
L'equivalena è la seguente:
rango è un invariante completo per la equivalenza sinistra-destra tra matrici: due matrici mxn A e B (ma nulla vieta che esse siano quadrate, la proprietà è espressa in termini generali) hanno lo stesso rango se e solo se esistono due matrici invertibili M e N tali che A = MBN.
In ogni caso comunque quello che vuole l'esercizio è proprio dimostrare tale equivalenza e non applicarla soltanto.
Per la dimostrazione si lavora sulla dimensione degli spazi Nullo e Range. |
| WonderBoy |
Inserito il - 27/03/2009 : 11:00:31
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Messaggio inserito da pepsianomala
un'altra cosa io ho un dubbio su
3) A simmetrica positiva. x vettore =! (diverso da) 0 . Provare A+xTx è definia positiva. xTAx>0 per ogni x>0 appartenente a R^n.
A è una matrice mentre xTx è uno scalare, che a me risulti non si puo' sommare uno scalare ad una matrice. Non è che li invece di xTx è xxT?????
O forse mi sono rimbambita io??
sì infatti ci sarà un errore...spero che l'autore del post possa chiarirci |
| WonderBoy |
Inserito il - 27/03/2009 : 10:46:33
@ vampire
sì esatto |
