| V I S U A L I Z Z A D I S C U S S I O N E |
| vampire |
Inserito il - 02/02/2009 : 23:52:46
Ragazzi confrontiamo un altro esercizio :). La prof in aula aveva dato questa traccia:
Considerate le seguenti matrici, individuare quelle che lasciano invariata la lunghezza dei vettori. Avevamo tre tipi di matrici a), b) e c). I casi b) e c) li avevamo risolti in aula, rimaneva il caso a) che io ho svolto in questo modo.
La matrice era questa:
A=(0,1,4
1,2,1
0,1,0)
io praticamente ho considerato un generico vettore fatto così:
x = (x1
x2
x3)
e mi sono calcolato la norma 2 di Ax e la norma 2 di x. La norma 2 di Ax in particolare l'ho calcolata facendo questo prodotto x^A^Ax (dove con x^ indico il vettore trasposto e A^ indico la matrice trasposta). In pratica quindi mi sono calcolato il valore di quel prodotto (naturalmente lasciando in tutti i passaggi le incognite x1,x2,x3 perchè ho considerato un vettore in generale, quindi alla fine mi è venuta un'equazione in quelle incognite) e poi ho calcolato anche la norma 2 di x. Ho ricavato due valori diversi, quindi ho dedotto che quella particolare matrice nn conserva la lunghezza. Qualcuno ke lo ha fatto può confermare?oppure correggermi :)
Grazie. |
| 20 U L T I M E R I S P O S T E (in alto le più recenti) |
| nala |
Inserito il - 26/03/2009 : 11:15:53
Citazione:
Messaggio inserito da nala
Sia A appartenente ad R^n*n delta(A)=(lambda autovalore di A)= spettro di A.
delta(A) = max |lambda| raggio spettrale.
Provare o confutare le seguenti uguaglianze:
2) delta(A^t)=delta(A)
Considerando A e A^t avremo che i loro polinomi caratteristici sono identici e quindi equivalgono anche i loro autovalori.
P(lb)=(A-lb*I)
P(lb)=(A^t-lb*I)
Quindi --> lb(A)=lb(A^t)
Secondo voi si potrebbe risolvere in questo modo?
Ma nessuno mi risponde.... :-( |
| Mauro84 |
Inserito il - 24/03/2009 : 21:00:13
Citazione:
Messaggio inserito da nala
Citazione:
Messaggio inserito da nala
Citazione:
Messaggio inserito da Mauro84
Citazione:
Messaggio inserito da luigi87
ciao ragazzi, volevo sapere se avete svolto l'esercizio riguardante il parallelogramma i cui vertici corrispondono ai punti (0,0) e bisogna provare se l'area di P= |det(A)
non ho capito bene lo svolgimento...
Grazie millee
Allora i vertici del parallelogramma P sono (0,0)^|A1*|A2*|A1*+A2*
dove con ^ indico la trasposta e con Ai* indico l'i-esima riga.
in sostanza provare che l'area del parallelogramma P = |det(A)| è banale in quanto presa una generica matrice generica A 2x2 (costituita da 4 punti quindi) e calcolato il determinante con Laplace (ad esempio) si nota che è pari all'area di un parallelogramma in R^2. Per essere più chiari disegno in R^2 i 3 vettori A1*|A2*|A1*+A2* li proietto uno sull'altro e graficamente ottengo un parallelogramma. A1*+A2* è la diagonale mentre A1*|A2| sono i lati. :) cmq meglio vederlo graficamente
Non ho capito bene cosa intendi... potresti essere un pò più chiaro??
Ma nessuno mi risponde... :-(
impossibile essere più chiaro; sia a livello analitico che
grafico è molto semplice da vedere:) |
| nala |
Inserito il - 24/03/2009 : 17:33:43
Sia A appartenente ad R^n*n delta(A)=(lambda autovalore di A)= spettro di A.
delta(A) = max |lambda| raggio spettrale.
Provare o confutare le seguenti uguaglianze:
2) delta(A^t)=delta(A)
Considerando A e A^t avremo che i loro polinomi caratteristici sono identici e quindi equivalgono anche i loro autovalori.
P(lb)=(A-lb*I)
P(lb)=(A^t-lb*I)
Quindi --> lb(A)=lb(A^t)
Secondo voi si potrebbe risolvere in questo modo? |
| nala |
Inserito il - 24/03/2009 : 17:18:58
Citazione:
Messaggio inserito da nala
Citazione:
Messaggio inserito da Mauro84
Citazione:
Messaggio inserito da luigi87
ciao ragazzi, volevo sapere se avete svolto l'esercizio riguardante il parallelogramma i cui vertici corrispondono ai punti (0,0) e bisogna provare se l'area di P= |det(A)
non ho capito bene lo svolgimento...
Grazie millee
Allora i vertici del parallelogramma P sono (0,0)^|A1*|A2*|A1*+A2*
dove con ^ indico la trasposta e con Ai* indico l'i-esima riga.
in sostanza provare che l'area del parallelogramma P = |det(A)| è banale in quanto presa una generica matrice generica A 2x2 (costituita da 4 punti quindi) e calcolato il determinante con Laplace (ad esempio) si nota che è pari all'area di un parallelogramma in R^2. Per essere più chiari disegno in R^2 i 3 vettori A1*|A2*|A1*+A2* li proietto uno sull'altro e graficamente ottengo un parallelogramma. A1*+A2* è la diagonale mentre A1*|A2| sono i lati. :) cmq meglio vederlo graficamente
Non ho capito bene cosa intendi... potresti essere un pò più chiaro??
Ma nessuno mi risponde... :-( |
| Gabri |
Inserito il - 24/03/2009 : 17:06:08
grazie:) |
| nala |
Inserito il - 24/03/2009 : 15:24:46
Citazione:
Messaggio inserito da Gabri
allora, a me le funzioni escono:
14x1 + 7x2= 0
14x1 + 7x2=0
=> quindi io ho dedotto... che...
span (-1/2, 0)
� giusto?? perch� x1 lo conosco mettendo in evidenza dalla prima funzione e poi sostituendo nella seconda funzione mi viene x2=0... � cos� o mi sono zompata qualcosa?
ma in questo modo x2 esce sempre 0... c'� qualcosa che non mi quadra...:|
seguendo lo stesso ragionamento per l=-3 mi viene
span (-1, 0)
Per lambda = 4 si prende in considerazione solo la prima riga in quanto sono in combinazione lineare. infatti se la riduci con il metodo di gauss otterrai una matrice con solo la prima riga e sotto tutti zeri.
quindi:
-14x1 - 7x2=0 --> x1= -1/2 x2
quindi avrò:
(-1/2 x2, x2)^t (metto in evidenza x2)
N(A - lambda I) = span(-1/2 1)
per lambda = -3 sono sempre in combinazione lineare
prendo la prima riga:
-7x1-7x2 = 0
x1 = -x2
(-x2, x2)^t
metto in evidenza x2:
x2 (-1, 1)^t
N(A - lambda I) = span (-1, 1) |
| Mauro84 |
Inserito il - 24/03/2009 : 11:12:16
Citazione:
Messaggio inserito da Gabri
allora, a me le funzioni escono:
14x1 + 7x2= 0
14x1 + 7x2=0
=> quindi io ho dedotto... che...
span (-1/2, 0)
è giusto?? perchè x1 lo conosco mettendo in evidenza dalla prima funzione e poi sostituendo nella seconda funzione mi viene x2=0... è così o mi sono zompata qualcosa?
ma in questo modo x2 esce sempre 0... c'è qualcosa che non mi quadra...:|
seguendo lo stesso ragionamento per l=-3 mi viene
span (-1, 0)
tutto giusto tranne il risultato :), nel senso che per definizione
(A-lambdaI)x = 0 per l'autovalore lambda1=-3 ottengo una matrice
(-7 -7 ) (x1) = (0)
(14 14 ) (x2) = (0) da cui ottengo N(A)=span(-1,1)^
|
| Gabri |
Inserito il - 23/03/2009 : 23:33:51
allora, a me le funzioni escono:
14x1 + 7x2= 0
14x1 + 7x2=0
=> quindi io ho dedotto... che...
span (-1/2, 0)
è giusto?? perchè x1 lo conosco mettendo in evidenza dalla prima funzione e poi sostituendo nella seconda funzione mi viene x2=0... è così o mi sono zompata qualcosa?
ma in questo modo x2 esce sempre 0... c'è qualcosa che non mi quadra...:|
seguendo lo stesso ragionamento per l=-3 mi viene
span (-1, 0) |
| nala |
Inserito il - 23/03/2009 : 23:24:45
Citazione:
Messaggio inserito da Gabri
Citazione:
Messaggio inserito da nala
A) autovalori: 4, 3
per 4 span(A)=(-1/2, 1)
per 3 span(A)=(-1, 1)
... come ti fa ad uscire 4 e 3?? uno dei due deve avere il meno... perchè sotto radice c'è 49... quindi viene 1+-7/2= 4 o -3 giusto?
cmq i miei conti erano sbagliati. rifaccio e vi dico che mi esce
Hai ragione!! 4 e -3!!!
ho sbagliato :-) |
| Gabri |
Inserito il - 23/03/2009 : 23:18:11
Citazione:
Messaggio inserito da nala
A) autovalori: 4, 3
per 4 span(A)=(-1/2, 1)
per 3 span(A)=(-1, 1)
... come ti fa ad uscire 4 e 3?? uno dei due deve avere il meno... perchè sotto radice c'è 49... quindi viene 1+-7/2= 4 o -3 giusto?
cmq i miei conti erano sbagliati. rifaccio e vi dico che mi esce |
| Gabri |
Inserito il - 23/03/2009 : 23:11:42
mannecc!! nn gli azzecco mai!! grazie nala...
ora ci riprovo...:| |
| luigi87 |
Inserito il - 23/03/2009 : 21:35:22
Prego! Comunque magari prova a fare anche il secondo punto perchè dovrebbe essere simile e poi facci sapere! |
| nala |
Inserito il - 23/03/2009 : 21:32:49
A) autovalori: 4, 3
per 4 span(A)=(-1/2, 1)
per 3 span(A)=(-1, 1)
B) autovalori: 2, -2
per 2 span(B)= (-1/2, -1/2, 1)
per -2 span(B)= (-4, 1, 0), (-2, 0, 1)
C) autovalore: 3
per 3 ???????
la matrice ha come prima colonna tutti zeri.... Non si possono scambiare le colonne.. vero??
D) autovalore: 3
per 3 span(D)= (2,1,0), (1, 0, 1)
E) autovalore: 3
span (E) = (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1) |
| Gabri |
Inserito il - 23/03/2009 : 21:21:45
qualcuno ha fatto gli ex su autovalori e autovettori che ha dato la prof.ssa da fare??
scriviamo che ci è uscito cosi per confrontare??
A) autovalori: -4 3
autovettori:
per -4 mi viene N(A)=span( 7/6, 0)
per 3 mi viene N(A)= span(-4/7, 0) |
| nala |
Inserito il - 23/03/2009 : 21:10:59
Citazione:
Messaggio inserito da luigi87
Ciao ragazzi! avrei un dubbio su un esercizio che abbiamo svolto a lezione: Verificare che rank(A^A)=rank(A)=rank(AA^)
con A = (1 3 1 -4; -1 -3 1 0; 2 6 2 -8). Ma questa proprietà non vale solo se la matrice è simmetrica? Cioè A=A^ in questo caso non mi sembra simmetrica quindi la risposta è no?
Grazie mille.....
Questo qui....!
rank(A^A)=rank(A)=rank(AA^) è una proprietà valida per le matrici simmetriche. L'esercizio, invece, ti chiede di dimostrare se è valida per quella particolare matrice!
Dovrebbe essere questa la spiegazione!!
p.s. grazie per la risoluzione dell'esercizio! |
| luigi87 |
Inserito il - 23/03/2009 : 20:26:43
Ciao ragazzi! avrei un dubbio su un esercizio che abbiamo svolto a lezione: Verificare che rank(A^A)=rank(A)=rank(AA^)
con A = (1 3 1 -4; -1 -3 1 0; 2 6 2 -8). Ma questa proprietà non vale solo se la matrice è simmetrica? Cioè A=A^ in questo caso non mi sembra simmetrica quindi la risposta è no?
Grazie mille.....
Questo qui....! |
| nala |
Inserito il - 23/03/2009 : 19:59:48
Ps. potresti rispiegarmi il fatto delle matrici simmetriche rank(AA^)=rank(A)=rank(A^A) mi è sfugito qualcosa..... grazieeeeee
A quale esercizio ti riferisci?? |
| luigi87 |
Inserito il - 23/03/2009 : 19:54:24
Citazione:
Messaggio inserito da Gabri
ricopio qui il messaggio di Nala e chiudo l'altra discussione:
Ciao!!
Non ho capito l'esercizio dato per esercitazione dalla prf.ssa del buono:
Sia A appartenente ad R^n*n delta(A)=(lambda autovalore di A)= spettro di A.
delta(A) = max |lambda| raggio spettrale.
Provare o confutare le seguenti uguaglianze:
1) delta(A^2)=delta(A)
2) delta(A^t)=delta(A)
Qualcuno sa darmi qualche indicazione??
aiutoooooo
Ciao, posso risponderti solo al primo quesito dato che la prof. lo ha spiegato in classe:
Allora noi sappiamo per definizione che
Ax =lambax, per verificare che al quadrato è equivalente, moltiplichiamo entrambi i termini per la matrice A e quindi avremo:
AAx= lambdaAx ( ho scritto così ma si può scrivere anche Alammbax)
si nota che Ax è uguale a (come definito in precedenza) Ax= lambdax quindi andiamo a sostituire e avremo
AAx= lambdalambdax(ho sostituito ad Ax...)
quindi avremo:
A^2x= lamba^2x
quindi lamba^2 è tale da (lamba^k,x) è autocoppia di A che appartiene a RNxN per ogniK> 1 quindi la risposta è si!
Spero di essere stato chiaro.
Il secondo punto credo sia equivalente ma non ho capito lo svolgimento...
Ps. potresti rispiegarmi il fatto delle matrici simmetriche rank(AA^)=rank(A)=rank(A^A) mi è sfugito qualcosa..... grazieeeeee
|
| Gabri |
Inserito il - 23/03/2009 : 18:20:34
ricopio qui il messaggio di Nala e chiudo l'altra discussione:
Ciao!!
Non ho capito l'esercizio dato per esercitazione dalla prf.ssa del buono:
Sia A appartenente ad R^n*n delta(A)=(lambda autovalore di A)= spettro di A.
delta(A) = max |lambda| raggio spettrale.
Provare o confutare le seguenti uguaglianze:
1) delta(A^2)=delta(A)
2) delta(A^t)=delta(A)
Qualcuno sa darmi qualche indicazione??
aiutoooooo |
| nala |
Inserito il - 23/03/2009 : 17:57:39
Citazione:
Messaggio inserito da Mauro84
Citazione:
Messaggio inserito da luigi87
ciao ragazzi, volevo sapere se avete svolto l'esercizio riguardante il parallelogramma i cui vertici corrispondono ai punti (0,0) e bisogna provare se l'area di P= |det(A)
non ho capito bene lo svolgimento...
Grazie millee
Allora i vertici del parallelogramma P sono (0,0)^|A1*|A2*|A1*+A2*
dove con ^ indico la trasposta e con Ai* indico l'i-esima riga.
in sostanza provare che l'area del parallelogramma P = |det(A)| è banale in quanto presa una generica matrice generica A 2x2 (costituita da 4 punti quindi) e calcolato il determinante con Laplace (ad esempio) si nota che è pari all'area di un parallelogramma in R^2. Per essere più chiari disegno in R^2 i 3 vettori A1*|A2*|A1*+A2* li proietto uno sull'altro e graficamente ottengo un parallelogramma. A1*+A2* è la diagonale mentre A1*|A2| sono i lati. :) cmq meglio vederlo graficamente
Non ho capito bene cosa intendi... potresti essere un pò più chiaro?? |
