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iooo
Nuovo Utente
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 Inserito il - 27/01/2009 : 20:20:26
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gentilmente chi mi potrebbe meglio spiegare l'osservazione di questa affermazione:
Esercizio: Dimostrare la seguente propriet`a
Proposizione
Sono equivalenti le due proposizioni:
(a) v1, v2, . . . , vn 2 Rm costituiscono un sistema di generatori di Rm;
(b) rank([v1, v2, . . . , vn]) = m (num. di righe della matrice)
SUGGERIMENTO. Riformulare il problema in termini algebrici. Porre
A = [v1, v2, . . . , vn], x = [ 1, . . . , n]T . Ricordando che Ax `e la generica
combinazione lineare dei vettori vi , si ha che v1, v2, . . . , vn costituiscono un
sistema di generatori di Rm se e solo se il sistema lineare Ax = v, dove v `e
un generico vettore di Rm, risulta sempre compatibile. Applicare quindi il
Teorema di Rouch´e-Capelli.
OSSERVAZIONE. Dalla proposizione segue che, essendo il rango di una
matrice <= al minimo tra le sue dimensioni, una condizione necessaria
perch´e valga la (a) `e che n >= m. Quindi, ad esempio, due vettori di R3
non potranno mai generare R3.
DOMANDA: quando v1, v2, . . . , vn 2 Rm formeranno una base di Rm?
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Rio
Utente medio
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 Inserito il - 28/01/2009 : 11:14:24
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| ma è l'esercizio di un esonero/appello? |
www.festamaggiore.it
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iooo
Nuovo Utente
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Inserito il - 28/01/2009 : 16:01:45
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no
è delle slide del professore |
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ekkekkazz
Utente innocuo
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Inserito il - 28/01/2009 : 18:05:36
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è a pag. 11/32 della dispensa sui sistemi lineari
allora noi vogliamo dire che:
dati v1,v2,...,vn in R^m,
se questi sono un sistema di generatori di R^m,
allora la matrice A=[v1,v2,...,vn] avrà rank(A)=m, cioè proprio il suo numero di righe.
se è vero che i v1,v2,...,vn generano tutto R^m, allora ogni v in R^m si può esprimere come combinazione lineare con un generico x=[a1,a2,...,an]', cioè
a1*v1 + a2*v2 + ... + vn*an = v
che puoi scrivere come
Ax = v
ottieni un sistema lineare che deve essere per forza compatibile, e per il th. di Rouchè-Capelli rank(A)=rank([A|v]) dove [A|v] è la matrice completa.
La lunghezza di v in R^m è proprio m, perciò sai che rank([A|v]) = m.
Il rank(A) allora deve essere necessariamente m per verificare il th. di Rouchè-Capelli.
Osservazione:
Se prendi una matrice A di dimensioni n x m il rank(A) può essere al più il min(n,m) per forza!,
perchè il rank(A) è il numero di righe/colonne più alto di tutti i minori di A il cui determinante di questi minori non è 0.
Ed i minori sono delle sottomatrici quadrate di A.
Abbiamo detto prima che il rank(A)=m equivale a dire che v1,v2,...,vn generano R^m.
Il rank(A) può essere < m solo se la n fosse < m, cioè se il numero di colonne della matrice A è < m.
Supponendo che fosse possibile, il sistema Ax=v diventa incompatibile, e mi sballa tutto perchè a quel punto i vettori v1,v2,...,vn non sono generatori di un bel niente.
perciò se tu poni rank(A)=n, la n deve essere almeno m, cioè n>=m, e puoi dire che i vettori v1,v2,...,vn sono dei generatori di R^m.
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Modificato da - ekkekkazz in data 28/01/2009 18:09:48 |
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iooo
Nuovo Utente
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 Inserito il - 29/01/2009 : 13:33:47
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preemettendo ke sono totalmente una frana in tutto quello ke riguarda la matematica,nn ho capito ancora.il rango nn è anche il numero di righe i cui elementi sono <> da 0???
quindi qst:
Il rank(A) può essere < m solo se la n fosse < m, cioè se il numero di colonne della matrice A è < m.
nn ho capito.
xkè se ho qst matrice ridotta a scalini:
1 -2 1 1 | 0
0 0 2 1 | 1
0 0 0 0 | 0
0 0 0 0 | 0
il rank(A) è =2 che è < del numero di righe ma il numero di colonne n è = a m (num di righe).quindi non ho ancora capito niente.perchè la frase sopra riportata non coincide con questo esempio.
Scusa l'ottusagine!!! |
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SD83
Utente assiduo
Regione: Puglia
Prov.: Foggia
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Inserito il - 29/01/2009 : 15:24:48
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il rango coincide con il numero di righe non nulle di una matrice ridotta a scalini
questa è una matrice 4 righe e 5 colonne il rango quindi può essere al massimo 4 (che è la dimensione minima (4righe 5colonne)) in questo caso è 2
"Il rank(A) può essere < m solo se la n fosse < m, cioè se il numero di colonne della matrice A è < m.
nn ho capito."
forse intendeva dire il rango non può essere m se n<m
ti faccio un esempio
ad esempio ragioniamo in R3
prendiamo 4 vettori appartenenti a R3
v1= {a1 a2 a3}
v2= {b1 b2 b3}
v3= {c1 c2 c3}
v4= {d1 d2 d3}
costruiamo la matrice A (ogni colonna è un vettore)
A= a1 b1 c1 d1
... a2 b2 c2 d2
... a3 b3 c3 d3
il rango di questa matrice(3righe 4colonne) può essere al massimo 3
se il rango è 3 allora questi 4 vettori generano lo spazio R3
se invece di 4 vettori ne prendiamo 2 per esempio
A= a1 b1
... a2 b2
... a3 b3
siccome questa è una matrice 3righe 2colonne il rango può essere al massimo 2
quindi per generare R3 2 vettori non sono sufficienti
ne servono minimo 3 in modo da avere una matrice 3X3 che come rango massimo può avere 3 (in tal caso sono generatori) |
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ekkekkazz
Utente innocuo
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Inserito il - 29/01/2009 : 16:13:16
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sì SD83 mi ha corretto, in effetti quella frase l'ho scritta male.
Cioè in pratica in Ax=v con v di lunghezza m e A formato da n vettori colonna, se ti succede che n<m il sistema diventa per forza incompatibile. Perciò non puoi usare l'equivalenza. |
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iooo
Nuovo Utente
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Inserito il - 29/01/2009 : 17:19:10
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scusate ancora....
SD83 hai detto:
<<se invece di 4 vettori ne prendiamo 2 per esempio
A= a1 b1
... a2 b2
... a3 b3
siccome questa è una matrice 3righe 2colonne il rango può essere al massimo 2.>>
Se le righe sono 3 il rango può essere 3 non 2 quindi x quanto hai detto tu <<quindi per generare R3 2 vettori non sono sufficienti ne servono minimo 3 in modo da avere una matrice 3X3 che come rango massimo può avere 3 (in tal caso sono generatori)>> questo dovrebbe valere....o forse hai sbagliato l'esempio o sono io ke veramente nn capisco un "tubazzo di niente"!!! |
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SD83
Utente assiduo
Regione: Puglia
Prov.: Foggia
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Inserito il - 29/01/2009 : 17:25:52
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il rango può essere al massimo uguale alla dimensione più piccola della matrice
se la matrice ha 3 righe e 10 colonne il rango può essere 0 1 2 3
se la matrice ha 10 righe e 5 colonne il rango può essere 0 1 2 3 4 5 |
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iooo
Nuovo Utente
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Inserito il - 29/01/2009 : 18:10:31
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| xdonami nn capisco ancora...mi potresti gentilmente fare un esempio....?? |
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SD83
Utente assiduo
Regione: Puglia
Prov.: Foggia
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Inserito il - 29/01/2009 : 18:38:14
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riduci una matrice a scalini e conta le righe che non hanno tutti zeri
quel numero è il rango
1 2 3
0 2 3
0 0 0
ha rango 2
1 2 3 5 6
0 0 2 0 1
ha rango 2
1 2 3 9 8
0 0 5 4 3
0 0 0 2 1
0 0 0 0 0
ha rango 3
1 2
0 1
0 0
0 0
ha rango 2
1 2 3
0 1 2
0 0 0
0 0 0
ha rango 2
come vedi il rango non è mai pià grande della dimensione più piccola |
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chiarimento dimostrazione
